Questões de Concurso sobre Estimadores

Por definição, um estimador para o parâmetro ϕ é qualquer função da amostra observada que assume valores no espaço paramétrico e que não depende do parâmetro que está sendo estimado.

Para cada parâmetro populacional, há um único estimador pontual.

Um estimador é o que chamamos antes de estatística, porém associando-o a um parâmetro populacional. Considere as propriedades de um estimador $\hat{\theta }$ para o parâmetro $\theta$ e assinale a opção correta.

A moda amostral é um estimador para a média $\mu$.

Em assimilação variacional, frequentemente são encontrados problemas inversos mal-postos, (ill-posed problems). Esses problemas podem ser convertidos em bem-postos (well-posed) pelo uso de técnicas de regularização. Um exemplo é o uso da regularização de Tikhonov, em que se adiciona um termo de regularização a um funcional a ser minimizado, evitando-se assim instabilidades numéricas durante o cálculo da solução.

Por exemplo: suponha que se busque um vetor x que resolva o sistema 𝐻𝑥 = 𝑦, minimizando-se o funcional

$J=\Vert Hx-y\Vert$ $\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}$ ,

em que ‖∙‖₂ é a norma 𝐿² (isto é, um problema de mínimos quadrados mal-posto). Pode-se adicionar o termo de regularização de Tikhonov ao funcional, substituindo-o por

𝐽𝛼 = ‖𝐻𝑥 − 𝑦‖${}_2^2$ + ‖Γ𝑥‖${}_2^2$ ,

em que $\Gamma$ = 𝛼𝐼, e 𝐼 é a matriz identidade.

Considere um caso hipotético onde as variáveis 𝐻, 𝑦 e 𝛼 possuem os seguintes valores:

$H=$ $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\\ 1& 2\\ 1& 2\end{array}\right]$ , $y=$ $\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right]$ , $\alpha$ $=1$ .

caso, o vetor 𝑥 que minimiza 𝐽𝛼 é:

As definições e outras propriedades de estimadores não fornecem qualquer orientação acerca de como bons estimadores podem ser obtidos. Por essa necessidade, surgem alguns métodos de estimação pontual; entre esses, os mais usados são o método dos momentos, o método dos mínimos quadrados e o método da máxima verossimilhança. Em relação a estes métodos de estimação, é correto afirmar:

Considere D₁ uma variável dummy cujo valor é 1, se o mês for do primeiro semestre, e 0, se for do segundo semestre; já D₂ é o contrário, um, se o mês for do segundo semestre, e zero, se for do primeiro. Y representa a receita mensal.

De acordo com essas informações, assinale a alternativa correta.

Seja uma amostra aleatória {2,2,4,4} extraída de uma variável populacional X que segue distribuição com média µ e variância σ².

São estimativas não viesadas para µ e σ², respectivamente,

Seja (X₁, X₂, ..., X_n) variáveis aleatórias independentes e distribuídas segundo uma distribuição normal com média μ ∈ $\mathbb{R}$ e variância ${\sigma }^2$ > 0. Então, é correto afirmar:

A inferência estatística tem por objetivo fazer generalizações sobre uma população com base nos dados de amostra. Um dos itens básicos nesse processo é a estimação de parâmetros, que pode ser realizado por ponto ou por intervalo. Um estimador $\hat{\theta }$ do parâmetro θ é qualquer função das observações de uma amostra aleatória de tamanho n da variável X com função de distribuição de probabilidade (ou função de probabilidade), f(X|θ), ou seja, $\hat{\theta }$= f(X1, X₂, ..., X_n). Logo, um estimador também é uma variável aleatória. Considerando que:

E(.) é a função esperança;

Var(.) é a função variância;

B(.) é a função viés; e

${}_{n\to \infty }^{\lim }$ é o limite da função quando n tende ao infinito.

Sobre as propriedades desejáveis dos estimadores, assinale a alternativa correta.

Seja a amostra aleatória de tamanho cinco de uma variável aleatória X com distribuição normal de média μ e variância σ² e os estimadores apresentados abaixo:

$T_1=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{5}$;

$T_2=\frac{X_1+2\ast X_2+3\ast X_3+4\ast X_4+5\ast X_5}{10}$;

$T_3=\frac{X_1-2\ast X_2-2\ast X_3+4\ast X_4+4\ast X_5}{5}$;

$T_4=\frac{X_1+X_2}{2}$; e

$T_5=\frac{X_1-2\ast X_2+3\ast X_3-4\ast X_4+4\ast X_5}{2}$.

Com base nessas informações, o estimador mais eficiente para μ é:

Se o nível de significância do teste for igual a 5%, então não haverá evidências estatísticas contra a hipótese nula, mesmo que a média amostral seja superior a 37.

Os métodos de inferência estatística podem ser agrupados em duas categorias de estimação, pontual e intervalar. Quando um estimador, em média, fornece estimativas iguais ao parâmetro que ele está estimando, caracteriza-o como:

No modelo de regressão linear simples

A estimativa do percentual populacional P foi igual a 75%.

T₁ e T₂ são dois estimadores de um mesmo parâmetro θ. O estimador T₁ é não viesado para θ e mais eficiente do que T₂, se:

Considere uma amostra aleatória de n variáveis X₁, X₂, ..., X_n, independentes normalmente distribuídas com média μ e variância σ² . Suponha que se pretenda estimar μ usando

$T=\frac{1}{n^2}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ .

Sobre as propriedades desse estimador, é correto afirmar que

Avalie se as seguintes afirmativas a respeito das propriedades do estimador razão estão, em geral, corretas.

-

I. O estimador razão é aproximadamente não viciado se o tamanho da amostra é suficientemente grande.

II. Para amostras pequenas, o estimador razão apresentará pequeno viés ou viés nulo com grande probabilidade.

III. O viés pode ser calculado considerando-se o truncamento na expansão em série de Taylor, a partir do termo de interesse; quanto menor a ordem do truncamento, mais preciso é o resultado.

-

Está correto apenas o que se afirma em

Considerando-se que o quadro anterior mostre os resultados de uma amostragem aleatória estratificada de tamanho n = 1.000 efetuada sobre uma população de tamanho N = 5.000.000, a estimativa da média populacional é igual a

Considere o problema de estimar os parâmetros de uma variável populacional multivariada, de dimensão p, suposta normalmente distribuída com média μ e matriz de covariâncias Σ.

Se x₁, x₂, ..., x_N constitui uma amostra aleatória dessa população N(μ, Σ), com p < N, então os estimadores de máxima verossimilhança de μ e Σ são $\overline{x}$ e

[obs: x^t indica a transposta de x]