Questões de Concurso sobre Fator de Correção para População Finita

Uma empresa quer realizar uma pesquisa de satisfação entre seus funcionários, distribuídos em três departamentos: Departamento A, com 610 funcionários e variância de satisfação S²_A = 100; Departamento B, com 290 funcionários e desvio padrão de satisfação S_B = 20; Departamento C, com 105 funcionários e desvio padrão de satisfação S_C = 18. A empresa deseja entrevistar uma amostra de 100 funcionários. Utilizando a alocação ótima de Neyman, qual deve ser o tamanho da amostra em cada departamento?

A distribuição t de Student é utilizada para inferências estatísticas, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos.

Um pesquisador deseja estimar a altura média das plantas em uma plantação dividida em dois estratos: área em declive e área plana. Utilizou-se amostragem estratificada proporcional, totalizando uma amostra de 20 unidades. O estrato da área em declive possui 120 unidades na população e teve 12 unidades amostradas, com variância amostral de 24 cm². O estrato da área plana possui 80 unidades na população e teve 8 unidades amostradas, com variância amostral de 48 cm².

Sabendo que o total da população é de 200 unidades, qual é a variância da média amostral estratificada, considerando correção para população finita?

Filtros de Partículas são implementações não paramétricas de filtros Bayesianos em que as distribuições de probabilidade não são explicitamente definidas, sendo, portanto, representadas por um conjunto de amostras provenientes delas próprias (denominadas partículas).

Com relação aos filtros de partículas, analise as afirmativas a seguir e assinale (V) para a verdadeira e (F) para a falsa.

( ) As partículas representam observações (ou medidas) obtidas por sensores aplicados ao sistema em análise, e a elas são associados pesos proporcionais às suas probabilidades de coincidirem com medidas correspondentes ao estado verdadeiro do sistema.

( ) Quando aplicados à assimilação de dados, a cada passo de assimilação, novos pesos são atribuídos às partículas. Caso não seja realizado nenhum processo de reamostragem, o conjunto de partículas costuma degenerar-se, com uma das partículas recebendo peso normalizado próximo de 1 e as outras partículas recebendo pesos normalizados próximos de 0.

( ) São capazes de representar distribuições de probabilidade multimodais, isto é, cujas densidades de probabilidade possuem mais de um máximo local.

As afirmativas são, respectivamente,

A distribuição amostral de $\frac{1}{n}{\sum }_{i-1}^n{Y}_i$ é normal com média $p=P(X<b)$ e variância $p(1-p)$$/n$ para qualquer valor de $n$.

Em um processo de produção de peças eletrônicas para computadores com alta tecnologia, deseja-se estimar a probabilidade de alarmes falsos produzidos pelo equipamento de controle que mede o comprimento de uma componente eletrônica. Considere que sejam retiradas amostras de tamanho cinco e que o número médio de amostras até um alarme falso (NMAF) seja de 33 amostras. Assinale a opção que apresenta o valor aproximado da probabilidade de cada amostra gerar um alarme falso, isto é, O risco $\alpha$, para esse processo.

Considere que, na estimação da média populacional da variável de interesse Y da referida amostragem estratificada, o tamanho total da amostra seja igual a 10 e que o método para a alocação da amostra seja o da alocação ótima de Neyman. Nessa situação, a amostra será composta por três elementos do estrato A, três elementos do estrato B e quatro elementos do estrato C.

No cálculo do tamanho da amostra para a estimação de uma média, um aspecto muito importante é o fator de correção de população finita, a ser usado se o tamanho N da população a ser estudada não é grande o suficiente em relação ao tamanho n da amostra.

Quando é esse o caso, o fator de correção a ser usado é dado por

Para determinado experimento, uma equipe de pesquisadores gerou 20 amostras de tamanho n = 25 de uma distribuição normal, com média µ = 5 e desvio padrão σ = 3. Para cada amostra, foi montado um intervalo de confiança com coeficiente de 0,95 (ou 95%). Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

I Os intervalos de confiança terão a forma β_i ± 1,176, em que β_i é a média da amostra i.

II Para todos os intervalos de confiança, β_i + ε $\ge$ µ $ βi - ε, sendo ε a margem de erro do estimador.

III Se o tamanho da amostra fosse maior, mantendo-se fixos os valores do desvio padrão e do nível de confiança, haveria uma redução da margem de erro ε.

Assinale a opção correta.

Uma amostra aleatória simples {X₁, X₂, X₃, X₄} de tamanho 4 é retirada de uma distribuição normal com média μ e variância σ². A respeito das estatísticas

$\overline{X}=\frac{X_1+X_2+X_3+X_4}{4}$

$Q_2={\sum }_{i=1}^4{\left(X_i-\overline{X}\right)}^2,$

assinale a opção correta.

Se o resultado de um teste de matemática para 1000 alunos segue uma distribuição normal com média 7 e desvio padrão 1, então o provável número de estudantes com nota acima de 8 é:

Um estudante deseja estimar a renda média dos estagiários de sua cidade. A renda dos estagiários da cidade segue uma distribuição normal, com desvio padrão de 250 reais e média desconhecida. Quantos estagiários, aproximadamente, deverão pesquisar para garantir que haja um risco de 0,05 de ultrapassar um erro de R$50,00 ou mais na estimação.

Sabendo que F(z) é a função de distribuição acumulada da normal padrão, onde $F(1,3)\cong 0,90$, $F(1,64)\cong 0,95$, $F(1,96)\cong 0,975$, $F(2,58)=0,995$

Após uma malha fina realizada em 576 empresas de um município, selecionadas de forma aleatória, foram detectados problemas graves de sonegação fiscal em 44 delas. Com base nessas informações, um auditor fiscal abre um intervalo de 95% de confiança, interessado em inferir qual é a verdadeira proporção de empresas com problemas graves de sonegação em todo o município. Uma vez que o auditor opte por utilizar a aproximação à curva normal e, considerando uma população infinita, qual é o intervalo de confiança obtido pelo auditor para a proporção em questão? (Na curva normal, utilize z_95%=1,96).

Se o tamanho amostral desejado é de 50% do número de egressos de 2016, o total de amostras possíveis é:

Para que qualquer teste possa ser realizado, as amostras devem ter distribuição normal.

Abaixo temos parte da imagem de uma tabela normal, como as que se encontram em livros clássicos de estatística. Nela são dados o resultado da integral da distribuição normal entre 0 e z0 = z/σ onde σ2 é a variância e z o valor contínuo que pode ser assumido pela variável aleatória Z que segue a distribuição.

Figura: Tabela Normal das integrais da distribuição normal P(Z) entre 0 e z0 (valor de Z normalizado pela média). Para a integral entre 0 e valor z0 = 1,58 se deve extrair o termo da linha 1,5 e coluna 8.

Considere uma variável aleatória Z que obedece a distribuição de probabilidade normal com média 3 e desvio padrão 2. Utilizando a tabela normal, assinale a alternativa que corretamente apresenta a probabilidade de em uma medida aleatória o resultado Z ser maior que 4.

Para um valor n suficientemente grande, segue, aproximadamente, uma distribuição normal.