Questões de Concurso sobre Equações Diferenciais

No estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (E.D.O.), são apresentadas várias técnicas para se obter soluções particulares de uma E.D.O. Uma dessas técnicas é a do fator integrante, em situações em que são fornecidos valores iniciais, a fim de se obter uma solução particular para determinada equação diferencial aplicada em uma situação-problema. Dessa forma, uma solução particular para a equação diferencial 𝒙𝒚′ −𝒚 = 𝒙^𝟐 +𝒙, dadas as condições iniciais 𝒙 = 𝟏 e 𝒚 = 𝟐, em que 𝒚′ é a notação para derivada de 𝒚 em relação a 𝒙, é dada por

Dada equação diferencial (2𝑥𝑦 − 𝑦² )𝑑𝑥 + 𝑒^𝑥𝑑𝑦 = 0, sendo 𝑦(𝑥), ao analisar as afirmações das sentenças abaixo.

I. A equação diferencial não é ordinária e de primeira ordem.

II. A equação diferencial é ordinária de primeira ordem.

III. A equação diferencial é ordinária de segunda ordem.

IV. A equação diferencial é ordinária não-linear.

V. A equação diferencial é ordinária e linear.

Assinale a alternativa CORRETA:

Considere o Problema de Valor de Contorno, PVC, unidimensional descrito pela equação diferencial e pelas condições abaixo: $y"+y+x=0,0\le x\le 1;$

$y(0)=0,y^{\prime }(1)=1$

Ao utilizarmos o Método do Elementos Finitos, MEF, para a solução numérica do PVC, acima, definido com um passo constante, h = 0,2, o problema matricial associado contará com:

Uma equação diferencial ordinária do tipo $y"\left(t\right)+f\left(t\right)y^{\prime }\left(t\right)+g\left(t\right)y\left(t\right)=h\left(t\right),$ com a função ℎ não identicamente nula no intervalo em que se busca a solução, é conhecida como uma equação de

Considere o método de Euler (método de Taylor de 1 ª ordem)

$y_{n+1}=y_n+f\left(x_n,y_n\right)$

e o Problema de Valor Inicial de 2 ª ordem

$\{\begin{array}{cc}{y}^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y+x=0& \\ y(0)=1,& y^{\prime }(0)=2\\ h=0,25;& \end{array}$

O valor aproximado de y'(0,5), utilizando arredondamento de quatro casas decimais, é:

Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) são definidas como:

O volume de um balão esférico em função do raio é dado por ܸV(r) = $\frac{4}{3}$ $\pi$r³. Se o balão está sendo enchido de modo que o raio esteja aumentando à taxa constante de 0,5 cm/s, então as taxas instantâneas de variação do volume em relação ao tempo ($\frac{dV}{dt}$, medida em cm³/s), quando o raio for igual a 2 cm e a 3 cm, serão, respectivamente,

Aproximações por diferenças finitas são aplicáveis aos métodos numéricos na solução de Equações Diferenciais Parciais, EDP. Com relação às Equações Parabólicas, o método das Diferenças:

Considere o método de Runge-Kutta de 2 ª ordem, conhecido como método de Euler Melhorado

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\left(k_1+k_2\right),$

$k_{1=f\left(x_n,y_n\right),}$

$k_2=f\left(x_n+h,y_n+h{k}_1\right),$

e o Problema de Valor Inicial (PVI)

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }=-y+2x+2\\ y(1)=5\\ h=0,5;\end{array}$

Seja $y\left(2\right)=5,1036$ o valor exato da solução do PVI. O erro absoluto da aproximação da solução do PVI para $x=2$, utilizando o referido método e arredondamento de quatro casas decimais, é:

Os métodos numéricos de solução de Equações Diferenciais Ordinárias podem ser caracterizados em métodos implícitos e métodos explícitos. Com relação a esse conceito:

A solução geral da EDO linear $\frac{dy}{dt}+2y=e^t$ é igual a:

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é uma das técnicas utilizadas para resolver problemas físicos descritos por Equações Diferenciais Parciais. Sobre as fontes de erro existentes no desenvolvimento do MEF, um tipo de erro que permanecerá ocorrendo, independentemente do uso de técnicas pelo usuário que visem minimizar oscilações na solução, é aquele:

Suponha que $q\left(t\right)$ seja a carga elétrica num circuito dado pela equação diferencial ordinária $L\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$, sendo L, R e C constantes positivas representando, respectivamente, indutância, resistência e capacitância. Nesse caso, se a resistência R satisfaz a desigualdade $R>\sqrt{4L/C}$, então as soluções linearmente independentes da equação diferencial são ambas decrescentes.

Considere a Equação Diferencial Parcial (EDP) Elíptica abaixo

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=4,x\in \left(0,1\right),y\in \left(0,2\right);$

$\begin{array}{cc}u(x,0)=x²,& x\in [0,01];\\ u(x,2)=(x-2)²,& x\in [0,01];\\ u(0,y)=y²,& x\in [0,02];\\ u(1,y=(y-1)²,& x\in [0,02];\end{array}$

$h=k=$ ¹/₂

e as aproximações, a seguir:

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x_i,y_j)\cong \frac{u(x_i+h,y_j)-2u(x_i,y_j)+u(x_i-h,y_j)}{h²}$

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}(x_i,y_j)\cong \frac{u(x_i+k)-2u(x_i,y_j)+u(x_i-h,y_j-k)}{h²}$

Ao se aproximar a solução do problema, utilizando o método das Diferenças Finitas, o sistema linear $Aw=b,w_1=w_{ij}\cong u\left(x_i,y_j\right);I=\left(3-j\right)+i,i=1,1\le j\le 3$ é igual a:

O Método das Diferenças Finitas pode ser aplicado na solução de um Problema de Valor de Contorno (PVC). Considere as aproximações por diferenças centradas e o PVC de 2ª ordem abaixo:

$\{\begin{array}{cc}y’’+2y’+y=x& \\ y(0)=1,& y(1)=-1\\ h=0,25;& \end{array}$

A terceira equação do sistema linear, associada ao Método das Diferenças Finitas, na aproximação de y(0,25), y(0,5) e y(0,75), é

Um dos modelos de demografia e dinâmica populacional mais simples existentes consiste no Modelo de Malthus. O número de indivíduos da população P = P(t) é governado pela equação diferencial abaixo onde parâmetro “a” representa a taxa de crescimento populacional efetivo (com dimensão do inverso do tempo).

$\frac{dP}{dt}=aP$

Uma técnica simples de solução numérica de equações diferenciais consiste em se iterativamente construir para um passo (discretização em t) pequeno a solução a partir da expansão em série de Taylor da função, inserindo o truncamento em primeira ordem.

P (t+Δt) = P(t) + $\frac{dP\left(t\right)}{dt}$ Δt

Considerando um coeficiente a = 10 (unidade de inverso de tempo) para o modelo de Malthus e a condição inicial P₀ = 2000 indivíduos, com uma discretização de t em intervalos de 0,01 unidades de tempo, assinale a alternativa que indica corretamente o valor de P no instante t = 0,03 unidades de tempo obtido numericamente por esse método.

Seja a equação diferencial $x^{2}y"-x{y}^{\prime }-3y=0$ , com as condições de valor inicial $\{\begin{array}{c}y(1)=3\\ y’(1)=1\end{array}$ .

Qual é o valor de $y(2)$ ?

y = f(x) é uma função diferenciável definida implicitamente pela equação 2y² + xy + 3x³ =2x. Determine as equações das retas tangentes e normais ao gráfico de f no ponto (1,1) respectivamente e assinale a opção correta.

Na equação y’ + xy – x = 0, a solução particular para que y(1) = – 1 é: