Questões de Concurso sobre Normal

A função de densidade da distribuição normal, 𝑓(𝑥), obedece a relação 𝑓(𝜇 + 𝑥) = 𝑓(𝜇 − 𝑥).

Para uma amostra suficientemente grande, $S_n$ segue, aproximadamente, uma distribuição normal.

O valor esperado de $S$ é igual a 2.

As variáveis aleatórias X₁, X₂ e X₃ representam, respectivamente, a preciptação em mm de três cidades no mês de julho. Segundo dados históricos, sabe-se que o vetor aleatório X = $\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\end{array}\right)$ tem distribuição normal multivariada com vetor de médias dado por u = $\left(\begin{array}{c}10\\ 11\\ 9\end{array}\right)$ e matriz de covariâncias dada por Σ = $\left(\begin{array}{ccc}1.70& 0& 0\\ 0& 1.35& 0\\ 0& 0& 0.95\end{array}\right)$. Considerando que Φ (z) = P (Z ≤ z), onde Z ~N (0,1), a probabilidade da precipitação total dessas três cidades estar entre 24 mm e 33 mm no mês de julho é:

Considere que o nível de colesterol total X em pessoas sadias de determinada população possa ser descrito pela distribuição normal com média 140 mg/dL. Sabe-se que 5% dessas pessoas possuem um colesterol menor que 136,72 mg/dLe 90% possuem colesterol inferior a C. Com base nessas informações, qual o valor de C?

(Dados: Valores de probabilidades P (Z ≤ z), em que Z é uma variável aleatória normal padrão.)

Durante a observação do ciclo de vida das nuvens do tipo Cumulonimbus, desde o seu nascimento até a formação do topo em formato de bigorna, um meteorologista verificou que esse tempo seguia uma distribuição normal de probabilidades, com intervalo de confiança de 95% para a média, dado por [15,35] minutos.

Com base nessa situação, assinale a alternativa que indica corretamente o tempo de formação mais comum do topo em formato de bigorna para as nuvens do tipo Cumulonimbus.

A probabilidade de o valor gasto por consumidor ser superior a R$ 800 é inferior a 15%.

Se a distribuição de penas em um presídio é normal, com média 10 anos e desvio padrão 4 anos, qual a probabilidade de encontrarmos, neste presídio, penas superiores a 18 anos?

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Considere, para essa questão, que, se Z é uma variável com distribuição normal padrão, P(-1<Z<1) = 68%, P(-2<Z<2) = 95% e P(-3<Z<3) = 99%.

Para estimar a média μ de uma população normalmente distribuída que apresenta uma variância unitária utilizam-se os dois estimadores não viesados, sabendo-se que m é um parâmetro real, E’ = 3X − Y − Z e E” = mX + mY − (2m − 1)Z. (X, Y, Z) é uma amostra aleatória de tamanho 3 extraída da população, com reposição, sendo que E” é mais eficiente que E’. Então m pertence ao intervalo com uma amplitude igual a

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂, ..., X_n de uma densidade com parâmetro θ unidimensional e avalie se as seguintes afirmativas acerca de estatísticas suficientes são falsas (F) ou verdadeiras (V).

I. Se a densidade é Bernoulli(θ), então ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ é suficiente.

II. Se a densidade é Normal com média θ com variância conhecida, então ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ é suficiente.

III. Se a densidade é uniforme no intervalo (0, θ) então ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$ é suficiente.

As afirmativas são respectivamente

Para testar se as variâncias de duas variáveis X e Y normalmente distribuídas e independentes são iguais, uma amostra aleatória de tamanho 10 de X, e uma de tamanho 17 de Y foram obtidas e mostraram os seguintes resultados:

${\sum }_{i=1}^{10}$ (𝑥_𝑖 − 𝑥̅)² = 240; ${\sum }_{i=1}^{10}$ (𝑦_𝑗 − 𝑦̅)² = 280

O valor da estatística adequada a ser usada para esse teste é aproximadamente igual a

Considere a sequência de variáveis aleatórias independentes X₁, X₂ ..., X_n com distribuição normal de parâmetros 𝜇 = 0 𝑒 𝜎 ² = 1. Seja Z = $X_1^2$ + $X_2^2$ + ⋯ + $X_n^2$ . Então Z tem distribuição

Se os 20% piores alunos deverão refazer a disciplina no próximo semestre, então o aluno que tenha obtido nota inferior a 2 deverá refazer a disciplina.

Se uma amostra aleatória de 10 alunos for retirada, sem reposição, então a variância da média será inferior a 1.

Um estatístico que está estudando os processos que se encontram no arquivo de determinado tribunal escolheu, aleatoriamente, uma amostra de 9 processos. Ele verificou que os processos amostrados possuem os números de páginas de acordo com a tabela seguinte.

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Ele supõe que o número de páginas dos processos seja normalmente distribuído com média $\mu$ e variância ${\sigma }^2$ desconhecidas.

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Com base nessa situação hipotética e nas informações presentes na tabela a seguir, assinale a opção que apresenta o intervalo de confiança de 95% para a média $\mu$ , assumindo que $\sigma =$ 62,50.

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Como os dados na tabela são discretos, eles podem ser modelados pela distribuição normal, que é uma distribuição discreta.

Se X tem distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma$², então a seguinte variável tem distribuição normal padrão:

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂, ..., X_n de uma variável normalmente distribuída com média μ e variância σ² e as estatísticas suficientes $\overline{X}$ e ${\sum }_{}^{}$ (X_i - $\overline{X}$)².

Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a verdadeira e F para a falsa.

I. $\overline{X}$ tem distribuição N(μ, σ²/N)

II. ${\sum }_{}^{}$ (X_i - $\overline{X}$)² / σ² tem distribuição qui-quadrado com (n – 1) graus de liberdade.

III. $\overline{X}$ e ${\sum }_{}^{}$ (X_i - $\overline{X}$)² são independentes.

As afirmativas são, respectivamente,

Considere que, em uma análise de agrupamentos por meio de mistura de gaussianas, três distribuições normais com médias μ₁, μ₂ e μ₃ se referem, respectivamente, aos clusters 1, 2 e 3. Nessa situação, pelo modelo de mistura de gaussianas, o cluster 1 é constituído pelas observações mais próximas da média μ₁.

De uma população normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito extraiu-se uma amostra aleatória de tamanho 36, obtendo-se uma média amostral igual a 80. Com base nesta amostra, um intervalo de confiança de 90% foi construído para a média μ da população apresentando como resultado o intervalo [75,08; 84,92]. Uma outra amostra aleatória de tamanho 144, independente da primeira, foi extraída da população obtendo-se um novo intervalo de confiança de 96% para μ com uma amplitude igual a