Questões de Concurso sobre Tamanho da Amostra e Erro Máximo

Uma pesquisa de opinião deseja identificar o perfil sócio-demográfico de servidores da secretaria de educação de um município. Considere a população dividida em quatro estratos, com suas respectivas médias (μ_h), variâncias ( σ${}_h^2$), desvios padrões (σ_h) e o produto (N_hσ_h) conforme tabela abaixo.

Para uma amostra de tamanho 50, se usarmos alocação ótima, os tamanhos amostrais de cada estrato são, aproximadamente, iguais a

O tamanho da amostra foi igual a 3 mil pessoas maiores de idade.

A junta comercial de um estado tem os registros das empresas em atividades, as quais estão enumeradas de 22335 a 50780. Deve-se selecionar uma amostra aleatória de 350 empresas. Qual é o número de elementos dessa população e qual é o melhor método de amostragem nesse caso?

Se o tamanho amostral desejado é de 50% do número de egressos de 2016, o total de amostras possíveis é:

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza diversas pesquisas que abrangem temas como Educação, Trabalho, Economia, Populaçã o, Saúde e Território, a nível nacional, estadual e municipal. Suponha que seja necessário realizar um levantamento sobre o número de pessoas infectadas por certa doença em um município. Dessa forma, a variável de interesse tem distribuição Binomial. Com essas informações, assinale a alternativa que representa o menor tamanho de amostra (utilizando o teorema Chebyshev) para o qual pode-se afirmar que

P(|$\frac{X_n}{n}-p$| < 0,1) ≥ 0,90

(Xn: soma dos valores observados para a variável aleatória de interesse; suponha p(1−p) ≤ $\frac{1}{4}$ ).

Considere que um economista precise realizar uma pesquisa de opinião pública para saber se determinada população, considerada de tamanho infinito, aprova, ou não, um determinado projeto de reforma. Que tamanho deve ter a amostra para que se possa estimar a proporção de votos favoráveis com um erro máximo igual a 2 pontos percentuais, ao nível de confiança de 95%?

Considere que Φ(1)=0,841, Φ(1,65)=0,95, Φ(2)=0,975 e Φ(2,57)=0,99, em que Φ(Z) é a função de distribuição normal padronizada acumulada e também desconsidere os valores decimais da resposta.

Suponha que uma amostragem aleatória simples com reposição (AAS_c) de tamanho n=10 da variável renda familiar apresente os seguintes valores: 20, 15, 20, 15, 15, 27,20, 20, 15, 27. Para essa amostra tem-se que a média amostral ($\bar{y}$ ) = 19,4 e a variância amostral (s²)= 21,6. Com base nos dados apresentados, para haver uma amostra que tenha uma estimativa para a média populacional com erro máximo B =$\sqrt{2}$ e nível de confiança 1 - alfa ($\alpha$) = 0,9544, é necessário que o tamanho da amostra seja igual a:

O prefeito de uma cidade de grande porte resolveu realizar uma pesquisa com o objetivo de estimar a proporção da população atendida por uma das Unidades de Saúde do município. Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e, portanto, não se tem uma estimativa de p. O prefeito quer ter 90% de confiança que o erro máximo de estimativa (E) seja de $\underline{+}3$ (ou $\underline{+}0,03$ ) . Dado que α= 0,10 e Z_α/2 = 1,645, quantas pessoas necessitam ser entrevistadas?

Obs.: O arredondamento deverá ser feito para cima.

Um pesquisador, querendo obter alguns cálculos de intervalo de confiança, depara-se com um problema que é o de escolher o tamanho de uma amostra. Supondo que se queira determinar o tamanho de n, onde n é o tamanho da amostra, de modo que:

A opção que indica corretamente a fórmula do tamanho da amostra é:

O chefe do controle de qualidade de uma empresa solicita a você que selecione uma amostra de indivíduos da população. O tamanho dessa amostra deve dar a ele 99% de certeza de que a média amostral esteja dentro de 0,5σ² de μ. Qual deve ser o tamanho dessa amostra?

Todos os anos, quando do início do conhecido “Horário Brasileiro de Verão – HBV”, é comum se ver, na imprensa, entrevistas com pessoas aleatoriamente escolhidas nas ruas sobre a questão: “Você gosta ou não do horário de verão?”. Embora interessantes, tais entrevistas, ainda que tabuladas, não constituiriam amostra significantemente representativa. Infelizmente, esse tipo de “estatística” tem permeado nossa mídia, e mais ainda as redes sociais, às vezes com a inocência do leigo em estatística, às vezes com má fé.

É ponto pacífico que, para uma análise estatisticamente representativa de uma população, há que se calcular o tamanho amostral mínimo de forma correta.

Assim, para a questão colocada sobre o HBV, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o tamanho da amostra aleatória necessária para que se tenha tal resultado, com confiança de 98,03% e erro máximo de 1%, sabendo não haver acesso a qualquer estudo prévio sobre o assunto.

Dados:

$n=\frac{(z{)}^2\ast \hat{p}\hat{q}}{E^2}$

onde:

$n$ – número de pontos amostrais necessários;

$z$ – escore z;

$\hat{p}$ – proporção amostral esperada de respostas “sim”;

$\hat{q}$ – proporção amostral esperada de respostas “não”;

$E$ – margem de erro.

Também se faz necessário o seguinte fragmento da tabela de escores $z$ positivos:

Para garantir um grau de confiança de 95%, o tamanho da amostra deverá ser:

Uma amostra aleatória de tamanho n deve ser extraída de uma população infinita a fim de se estimar a proporção da população, $\pi =\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N{Y}_i$, por meio da estatística Proporção da Amostra, p $=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i$, sendo Y_i uma variável aleatória Bernoulli ($\pi$).

Na falta de conhecimento prévio da variância do estimador, optou-se por calcular o tamanho da amostra conservador, considerando uma variância máxima, para um nível de confiança de aproximadamente 95%, e um erro amostral absoluto máximo de um ponto percentual.

Com esses parâmetros, o valor mais aproximado para o tamanho final da amostra é

Uma variável aleatória populacional tem média desconhecida e variância 25. O tamanho da amostra aleatória simples para que possamos garantir, com 95% de confiança, que o valor da média amostral não se afastará do da média populacional por mais de 0,2 unidade, deve ser maior ou igual a

Para obter uma amostra de tamanho 1.000 dentre uma população de tamanho 20.000, organizada em um cadastro em que cada elemento está numerado sequencialmente de 1 a 20.000, um pesquisador utilizou o seguinte procedimento:

I - calculou um intervalo de seleção da amostra, dividindo o total da população pelo tamanho da amostra: 20.000/1.000 = 20;

II - sorteou aleatoriamente um número inteiro, do intervalo [1, 20]. O número sorteado foi 15; desse modo, o primeiro elemento selecionado é o 15º;

III - a partir desse ponto, aplica-se o intervalo de seleção da amostra: o segundo elemento selecionado é o 35º (15+20), o terceiro é o 55º (15+40), o quarto é o 75º (15+60), e assim sucessivamente.

O último elemento selecionado nessa amostra é o

Para estimar uma proporção populacional, será extraída uma amostra de tamanho n, usando a proporção amostral como estimador. Em pesquisas anteriores o valor da proporção foi avaliado em $\left(\frac{9}{25}\right)$. O erro máximo tolerado é de 0,02 (=E) e o grau de confiança de 95% $\left(z_{0,05}=2\right)$. Então, para os casos de variâncias estimadas através do uso da evidência empírica do passado e do valor máximo para proporções, os respectivos tamanhos ótimos de amostras são:

Uma amostra deve ser selecionada de uma população com o objetivo de estimar a proporção de pessoas que apresentam uma determinada característica. Nas últimas três vezes que foi pesquisada, essa proporção ficou bem próxima de 40%, com intervalo de variação de 2%.

Nesses casos, para graus de confiança 68,26% (z = 1), 86,63% (z = 1,5) e 95,45% (z = 2), os tamanhos de amostras foram respectivamente:

A Defensoria Pública do Estado do Paraná contratou um estatístico para elaborar uma pesquisa com o intuito de saber se a população de quatro dos municípios (adotados como pilotos na pesquisa) que integram o Estado conhecem os serviços oferecidos pela Defensoria. A tabela apresenta a população dos quatros municípios pilotos, conforme estimativas populacionais de 2016 divulgadas pelo Instituto de Geografia e Estatística (IBGE). Com base nessas informações e considerando o tamanho da amostra n = 6.000 habitantes, o tamanho amostral dos estratos, respectivamente, que serão usados na pesquisa são: