Questões de Concurso sobre Álgebra Linear

Considerando que a Matriz A seja quadrada de ordem 2 e que tenha determinante igual a 2, o determinante da matriz 3A é:

Sejam duas matrizes A = $\left(\begin{array}{ccc}3& 5& 2\\ 1& -2& 7\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$ e B =. $\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ -1& 0& -2\\ 2& 0& 3\end{array}\right)$ Calcule det(A + B).

Seja 𝐴 uma matriz $n$ × $n$ tal que A³ = $\overline{0}$, sendo $\overline{0}$ a matriz nula. Se $I$_$n$ representa a matriz identidade de ordem $n$, podemos afirmar que:

$A=(a_{ij}{)}_{3\times 3}=$ $\left(\begin{array}{ccc}x& w& 6\\ y& 12& 8\\ z& t& 10\end{array}\right)$

Considere que o conjunto carcerário de uma unidade prisional seja composto de quatro blocos. Cada um desses blocos teria três alas, cada uma com três celas coletivas. Na matriz A = (a_ij)_3X3 , cada elemento aij representa o número de encarcerados na cela i, 1 ≤ i ≤ 3, da ala j, 1 ≤ j ≤ 3 do bloco A. Sabe-se que a ala 1 tem 8 presos a menos que a ala 2 e o total de presos do bloco A é igual a 78. Qual é o número de presos na ala 1 do bloco A da unidade prisional?

O estudo das matrizes tem muitas explicações na computação gráfica. É através de operações com matrizes que um programa gráfico altera a posição dos pontos que compõem uma imagem, fazendo-a girar, mudar de posição ou de escala. Na computação gráfica, essas operações recebem o nome de transformações geométricas. Por exemplo, uma rotação de θ graus de um ponto P = (x, y), em torno da origem no sentido anti-horário é feita a partir do produto da matriz de rotação R = $\left[\begin{array}{cc}cos(\theta )& -sen(\theta )\\ sen(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right]$ com a matriz P = $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$, que resulta em uma matriz P' = $\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]$, a qual indica a nova posição do ponto após a rotação P' = R ⋅ P.

A nova posição do ponto P = (1,2) após uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário, em torno da origem, é:

Dado um, suponha que o mesmo é autovalor de A invertível e que é autovalor de B com mesmo autovetor $\overrightarrow{u}$. Calcule o autovalor associado ao autovetor $\overrightarrow{u}$de A².

Seja 𝑇: ℝ³ → ℝ³ uma transformação linear dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 2𝑦 , 𝑧 , 𝑥 + 𝑦). Admitindo a existência de uma 𝑇^-1, onde 𝑇^-1 é uma inversa de 𝑇, assinale a alternativa que indique corretamente o valor de 𝑇^-1(2,0,1).

Sejam 𝜆₁ e 𝜆₂ os autovalores associados à matriz $A=\left[\begin{array}{cc}-3& 4\\ -1& 2\end{array}\right]$ . O valor de ${\lambda }_1^2$ $+{\lambda }_2^2$ será

Seja A uma matriz de ordem 2, dada pelo produto de duas matrizes B e C, como podemos ver abaixo:

A= $\left(\begin{array}{cc}cos(\theta )& sen(\theta )\\ sen(\theta )& cos(\theta )\end{array}\right)$ .$\left(\begin{array}{cc}1& -i)\\ -i& 1\end{array}\right)$

Calcule o det(A).

Dado o operador linear T(x,y,z) = (y-x+z, y-2z, z-x) de R³ , qual das alternativas abaixo contém uma base para a imagem desse operador?

Qual a soma entre as raízes do sistema de equações abaixo?

$\{\begin{array}{c}x+2y-z=-6\\ 3x-y+2z=24\\ 5x+4y-4z=-17\end{array}$

Sabendo que o sistema apresenta mais de uma solução, assinale a alternativa correta.

Sejam W₁= {(x,y,z,t) ∈ $\mathbb{R}$⁴ /x-z = 0 e y + t = 0} e W² = {(x,y,z,t) ∈ $\mathbb{R}$⁴ /y + z - t = 0} subespaços de $\mathbb{R}$⁴. Em relação à W₁ e W₂, considere as afirmações abaixo:

I. W₁ ∩ W₂ = {(2t, -t, 2t, t) / t ∈ $\mathbb{R}$};

II. W_{1 +} W₂ é chamada soma direta de W₁ com W₂ ;

III. A dimensão da soma W_{1 +} W₂ é 4.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)

Sobre os operadores autoadjuntos podemos afirmar:

I. Todos os autovalores de um operador autoadjunto são reais;

II. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre ortogonais;

III. Os autovetores de um operador autoadjunto associados a autovalores distintos são sempre linearmente independentes;

IV. Um operador simétrico não é autoadjunto, mas é sempre diagonalizável por uma base ortogonal de autovetores.

Estão corretas apenas as afirmativas

Qual é a área, do paralelogramo, do paralelogramo determinado pelos vetores $\overrightarrow{u}$ = (1, -1, 2) e $\overrightarrow{v}$ = (0, 3, 1)?

Em relação a transformação linear T: $\mathbb{R}$³ $\to$ $\mathbb{R}$² , definida por T(x, y, z) = (x + y - z, 2x - y+ z), e as bases $a$ = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} e $\beta$ = {(1,2), (1, -1)} , podemos encontrar a matriz ${\left[T\right]}_{\beta }^a$ . Qual é essa a matriz?