Questões de Concurso sobre Álgebra Linear

Se $A$ é uma matriz quadrada nilpotente de índice $n$, então pode-se afirmar que a matriz $l-A$ é inversível com inversa ${\left(l-A\right)}^{-1}=l+A+A^2+...+A^{n-1}$.

Os autovalores da matriz

$P=$ $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right]$

são dados por

Usando a mudança de variável 𝑧 = 𝑘𝑦′′, com 𝑘 ∈ ℝ^∗, podemos transformar a equação 𝑒^3𝑡².𝑦′′′ + 2𝑡𝑒^3𝑡².𝑦′′ = 𝑒^1+2𝑡², com 𝑡 ∈ ℝ, numa outra equação, que será nomeada de equação auxiliar. Chamando de 𝜓 a solução dessa equação auxiliar, sabemos que 𝜓(0) = 𝑒² e 𝜓(1) = 2𝑒. Assim, o valor 𝜓(𝑘) está na alternativa:

Se $A:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ é um operador linear invertível tal que $A(2,-3)=(-6,-6)eA(-6,6)=(18,12),$ assinale a alternativa que apresenta os vetores que constituem, respectivamente, a primeira e a segunda colunas da matriz de $A^{-1}$ (a inversa de 𝐴) relativamente à base canônica do espaço euclidiano ${\mathbb{R}}^2$.

Se o custo de manutenção for igual a 3 milhões de reais e o valor total de revenda for igual a 11 milhões de reais, então o custo de distribuição é inferior a 8 milhões.

O plano $\pi$ passa pelo ponto P = (4, 1, –1) e contém a reta r, com P∉r. A reta r passa pelos pontos A = (1, 0, 2) e B = (3, 3, 4) e tem $\overrightarrow{u}$ = (2, 3, 2) como vetor diretor. Em tais condições e com λ₁, λ₂ ∈ IR, a equação vetorial do plano $\pi$ é

Considere os seguintes vetores:

$\overrightarrow{u}=\left[\begin{array}{c}a\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],$ $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}0\\ b\\ 0\\ 0\end{array}\right],$ $\overrightarrow{w}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ c\\ 0\end{array}\right],$ $\overrightarrow{t}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ d\end{array}\right].$

Sabendo que o conjunto {$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w},\overrightarrow{t}$} é uma base para o ${\mathbb{R}}^4$ , julgue as afirmativas a seguir.

I – A soma a + b + c + d pode ser nula.

II – A soma a + b + c + d pode ser não-nula.

III – A soma a + b + c + d não pode ser nula.

IV – O produto abcd pode ser nulo.

V – O produto abcd pode ser não-nulo.

VI – O produto abcd não pode ser nulo.

VII – a = b = c = d = 1.

VIII – a = b = c = d ≠ 0.

IX – a ≠ b ≠ c ≠ d ≠ 0.

Quantas afirmações são verdadeiras?

No desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos, há uma série de etapas . As etapas a serem executadas permitem distinguir cada relação importante, como o método variacional para determinação da solução aproximada, as funções de interpolação, condições de contorno, matrizes elementares e matrizes de rigidez. Com relação a esses elementos:

Rotacional (rot), divergente (div) e gradiente (grad) são três campos famosos relacionados à teoria de campos vetoriais. Em relação a eles, para um dado campo vetorial em $R^3$ , $\overrightarrow{F}$, cujas derivadas parciais de terceira ordem de cada uma de suas componentes são contínuas, a expressão

grad ( div (rot($\overrightarrow{F}$(x₀ , Y_o, z_o))))

para (x₀, Y₀, z₀) = (1,2,3) representa:

Considere a matriz $A=$ $\left[\begin{array}{cc}-0,5& 3\\ 0,5& -1\end{array}\right]$ , na qual $u_1$ e $u_2$ são os autovetores de $A$ normalizados.

Qual é o valor do módulo do produto interno usual entre esses dois vetores, $\left|u_1.u_2\right|$ ?

Os autovalores do sistema linear são:

$x(t)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -30& -11\end{array}\right]$ $x(t)+\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\end{array}\right]$ $u(t)$

$y(t)=[1-8]x(t)+[2]u(t)$

Considere a função

$f(t)=e^{-(t-2)}u(t-2)$

em que u(t) representa a função degrau unitário no instante t.

Assinale a opção que contém a sua transformada de Laplace, representada por F(s).

Considere os vetores $u=\left(1,3,-4\right)$ e $v=\left(-2,2,7\right)$ do $R^3$ .

Qual é o valor de $m$ para que o vetor $\eta$ $=(11,9,m)$ seja a combinação linear de $u$ e $v$ ?

Seja o plano α de equação $\alpha :\overrightarrow{w}=\overrightarrow{a}+p.\overrightarrow{v}+q.\overrightarrow{u},p,q\in R$, com $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\end{array}\right)$ e $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right)$. O volume do tetraedro que possui vértices na origem (0,0,0) e nas intersecções de α com os eixos coordenados é igual a

Seja $A$ a matriz de ordem 2 que representa a projeção ortogonal sobre o subespaço do $R^2$ gerado pelo vetor $\left\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\end{array}\right\}$ .

Qual é a matriz $A$ ?

Uma circunferência tem seu centro sobre a reta parametrizada por:

$r:\{\begin{array}{c}x=3-t\\ y=t-1\end{array}$

Se os pontos A=(2,4) e B=(-1,3) também pertencem a essa circunferência, assinale a altemativa que corresponda ao centro dessa circunferência.

Considere as bases ordenadas $B=\{(1,1,-1),(0,-1,1),(-1,0,1)\}$ e $C=\{(1,0,0),(0,0,-1),(1,1,0)\}$ para ${\mathbb{R}}^3$ e o vetor $\overrightarrow{u}$de ${\mathbb{R}}^3$ com a seguinte matriz de coordenadas com relação à base C:

$[\overrightarrow{u}{]}_c=$ $\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right]$.

Dessa forma, é correto afirmar que as coordenadas de $\overrightarrow{u}$ com relação à base B são:

Qual a solução do sistema abaixo?

Seja $\overrightarrow{F}(x,y,z)=y{z}^2\overrightarrow{i}+t.x{z}^2\overrightarrow{j}+s.xyz\overrightarrow{k}$ um campo vetorial definido em R³, com as constantes reais s e t, e sabendo que $\overrightarrow{F}$ é um campo vetorial conservativo, é correto afirmar que o valor de s + t é igual a:

Seja $\overrightarrow{F}(x,y,z)=(x+z)\overrightarrow{i}+(y+z)\overrightarrow{j}-2(x+y+z+1)\overrightarrow{k}$ um campo vetorial e S a superfície definida por $S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z=4-x^2-y^2\}$. Calcule o fluxo do campo vetorial através de S, cujo vetor normal possui componente z positiva, e assinale a opção correta.