Questões de Concurso sobre Álgebra Linear

O operador linear 𝑇: ℝ³ → ℝ³, na base canônica do ℝ³, é dado pela matriz:

𝐴 = $\left[\begin{array}{ccc}4& 3& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 4& 1\end{array}\right]$

Sobre esse operador linear, assinale a alternativa correta.

Considerando a função 𝑓:ℝ⟶ℝ² definida por 𝑓(𝑥,𝑦)=$\sqrt{x^2+y^2}$, qual vetor representa ∇𝑓(2,1)?

Considere o subconjunto:

S = {at³ + bt² + c | a² + b² + c² ≤ 0} ⊂ P₃ (ℝ) e as seguintes afirmações, sendo a adição e a multiplicação por escalar as operações tradicionais em P_n (ℝ):

I. O elemento neutro da adição em P₃ (ℝ) pertence a S.

II. A soma de dois elementos quaisquer de S pertence a S.

III. O produto de um escalar qualquer por um elemento qualquer de S pertence a S.

Com base no que foi apresentado, pode-se, corretamente, afirmar que

Se | . |₁ e | . |₂ representarem, respectivamente, as normas L₁ e L₂ em R₃, então 2._{$|u_1-u_2{|}_2<|u_2-u_1{|}_1$ .}

O produto vetorial entre os vetores u₁ – u₃ e u₂ é um vetor perpendicular ao vetor w = (2, 2, 1).

Seja $A:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ um operador linear autoadjunto, isto é, vale a igualdade $\langle Au,v\rangle$ $=\langle u,Av\rangle$, para todos $u,vϵ$${\mathbb{R}}^2$, em que 〈 ∙ , ∙ 〉 representa o produto interno canônico do espaço euclidiano ${\mathbb{R}}^2$. Se $A(-1,2)=(1,4)$ e a matriz de $A$ na base canônica de ${\mathbb{R}}^2$ tem traço igual a 6, então o determinante desta matriz é

Seja $v=\left(a,b\right)$, com a, b $\in R^{}$, um vetor do $R^2$ Considere que foram realizadas as sucessivas transformações de reflexão em relação ao eixo $x$, reflexão em relação ao eixo $y$, contração na direção $x$ de fator igual a 3/4 unidades e rotação de 45º no sentido anti-horário, no vetor $v$. Após realizadas essas sucessivas transformações, a nova coordenada do vetor $v$ será:

Seja $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ a rotação de um ângulo $\theta$ em torno do eixo $\mathbb{Z}$, no sentido anti-horário, cuja matriz, em relação à base canônica do ${\mathbb{R}}^3$ é dada por $M=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & -sen\theta & 0\\ sen\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ . Considerando o ângulo $\theta =\frac{\pi }{2}$ , a respeito de $T$, é CORRETO afirmar:

É possível definir o espaço de Sobolev $W^{1,2}\left(\left[0,1\right],R\right)$ como o subconjunto de todas as funções $u\in L^2$ que possuem derivada fraca. Definindo a norma $||.|{|}_1$ em $W^{1,2}\left(\left[0,1\right],R\right)$ por $||u|{|}_1=||u|{|}_{L^2}+||u^{\prime }|{|}_{L^2}$, podemos afirmar que o espaço $W^{1,2}\left(\left[0,1\right],||.|{|}_1\right)$ é também um espaço de:

Considere o campo vetorial:

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑎|5 + 𝛾𝑥|⁻¹𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑦^𝑏)$i^{{}^{\to }}$+ 𝑙𝑛|5 + 𝛾𝑥|^𝑎.𝑐𝑜𝑠(𝜃𝑦^𝑏)𝑦^𝑏−1$j^{{}^{\to }}$,

sendo 𝑎, 𝑏 números reais fixos e maiores que 1; 𝛾, 𝜃 parâmetros reais com 𝛾, 𝜃 ∈ (0,1) e $i^{{}^{\to }}$, 𝑗 vetores da base canônica do plano cartesiano. Seja 𝐶 o caminho composto pela união da semicircunferência de raio 2, com centro na origem, e dos segmentos de reta, cujos extremos são (0,2) e (2,0) e (0,2) e (-2,0), como mostra a figura a seguir.

Considerando$\overrightarrow{R}$(𝑡), com 𝑡 ∈ 𝐼 ⊂ ℝ, uma parametrização do caminho 𝐶, podemos dizer que ∫_c$\overrightarrow{F}$ ⋅ $d\overrightarrow{R}$ = ∫_c$\overrightarrow{F}$ ($\overrightarrow{R}$(𝑡)) ⋅$\overrightarrow{R}$′(𝑡)$d$𝑡. Dessa forma, o que podemos afirmar sobre o valor de ∫_c $\overrightarrow{F}$ $.d$$\overrightarrow{R}$, em função das relações entre os valores de 𝑎, 𝑏, 𝛾, 𝜃, está expresso na alternativa:

A matriz de correlação de ordem 3x3 do vetor aleatório [X₁ X₂ X₃] foi estimada e forneceu as seguintes matrizes: de autovalores Λ e de autovetores P. Os autovetores ocupam as colunas da matriz P da 1ª. para a 3ª. em correspondência com os autovalores na diagonal da matriz Λ.

$\left[\begin{array}{ccc}2,872& 0& 0\\ 0& 0,088& 0\\ 0& 0& 0,040\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}0,582& -0,041& 0,812\\ 0,575& -0,684& -0,447\\ 0,574& 0,727& -0,375\end{array}\right]$

Então, a 1ª. componente principal tem por expressão:

Calcule os autovalores associados à matriz A apresentada abaixo e assinale a opção correta.

.

$A=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\end{array}\right]$

Se o produto escalar entre v e u₁ é igual a 100, então os três campos, juntos, possuem menos de 25 poços para extração de petróleo.

Analise os conjuntos J, K ⊂ $\mathbb{R}$², L ⊂ $\mathbb{R}$³ a seguir.

J = {(1,4), (2,8)}

K = {(1,5), (2,13)}

L = {(1,1,1), (2,3,4), (3,5,8)}

Tendo em vista essas informações, assinale a alternativa correta.

Seja $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ um operador linear tal que, para todo $v=\left(x,y\right)ϵ$ ${\mathbb{R}}^2$ , o segmento de reta que liga $\upsilon$ a $T\left(x,y\right)$ $=\left(x^{\prime },y^{\prime }\right)$ é vertical e tem seu ponto médio sobre a reta $y=x$. A alternativa que contém a expressão CORRETA do operador linear é:

No estudo dos elementos finitos, sempre houve a necessidade de definir se os elementos são isoparamétricos ou não. Essa informação é importante para permitir o estudo do comportamento das deformações causadas nos elementos. De acordo com as expressões aplicadas para descrever o seu comportamento, um elemento isoparamétrico é aquele:

Considere o sistema abaixo:

$\{\begin{array}{ccc}2x& +y& =12\\ 9x& +4y& =40\end{array}$

Assinale a alternativa correta quanto às raízes desse sistema.

Seja $\overrightarrow{\nu }$ um vetor de módulo igual a $\sqrt{3}$ e$\overrightarrow{u}$ um outro vetor, no mesmo espaço, com módulo unitário. Qual o menor ângulo entre os vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{\nu }$ para que a projeção ortogonal de na direção de seja igual $-\frac{1}{2}$ $\overrightarrow{\nu }$ ?

A reta que contém o ponto A=(1,-2,3) e é concorrente com as retas reversas

$r:X=(1,-1,3)+{\lambda }_1(1,0,2);{\lambda }_1$ $\in$ $\mathbb{R}$ e $s:X=(2,1,0)+{\lambda }_2(0,1,4);{\lambda }_2ϵ\mathbb{R},$ tem equação vetorial igual a :

Sejam V_A e V_B os volumes dos sólidos A e B em $\mathbb{R}$³, respectivamente, em que

A = {(x, y, z) ∈ $\mathbb{R}$³ : 36 x² + 8y² + 9z² ≤ 72} e

B = {(x, y, z) ∈ $\mathbb{R}$³ : x² + y² + z² ≤ 9}

Então, V_A e V_B são iguais, respectivamente, a