Questões de Concurso sobre Álgebra Linear

Assinale a alternativa que corresponde a um par de autovetores da matriz

$B=$ $\left[\begin{array}{cc}4& 4\\ 1/2& 3\end{array}\right]$.

Considere as matrizes $A_{n\times n}$, v_{$n\times 1$,} b_{$n\times 1$} e suponha que o sistema linear $A$v = b seja possível e indeterminado. Nessa situação, é correto afirmar que o conjunto solução do sistema é da forma $S=$ {v₀ + x :Ax = 0}, em que v₀ é uma solução qualquer do problema não homogêneo.

Considere os vetores 𝑣₁ = 𝑒^−2𝑡, 𝑣₂ = 𝑒^−𝑡, 𝑣₃ = 𝑒^𝑡, 𝑣₄ = 𝑒^2𝑡, 𝑤₁ = 𝑠𝑒𝑛(−2𝑡), 𝑤₂ = 𝑐𝑜𝑠(−𝑡), 𝑤₃ = 𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑤₄ = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡). Considere ainda os espaços 𝑉 e 𝑊, gerados pelos vetores 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄ e 𝑤₁, 𝑤₂, 𝑤₃, 𝑤₄, respectivamente, isto é, 𝑉 = ⟨𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄ ⟩ e 𝑊 = ⟨𝑤₁, 𝑤₂, 𝑤₃, 𝑤₄ ⟩. Defina a transformação linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊, dada por 𝑇(𝑥𝑒^−2𝑡 + 𝑦𝑒^−𝑡 + 𝑧𝑒^𝑡 + 𝑤𝑒^2𝑡 ) = [𝑥 + 𝑦]𝑠𝑒𝑛(−2𝑡) + [𝑦 + 𝑧]𝑐𝑜𝑠(−𝑡) + [𝑧 + 𝑤]𝑐𝑜𝑠(𝑡) + [𝑤 − 𝑥]𝑠𝑒𝑛(2𝑡).

Assim, a alternativa que apresenta a única afirmação CORRETA é:

Considere as seguintes afirmações.

I. O polinômio 𝑥⁴ − 𝑎 é redutível em ℝ[𝑥], para todo 𝑎 ∈ ℝ*_+.

II. Todo polinômio irredutível em ℚ[𝑥] é redutível em ℝ[𝑥], da mesma forma que todo polinômio irredutível em ℝ[𝑥] é redutível em ℂ[𝑥].

III. Dados os polinômios não nulos e não constantes 𝑝, 𝑓, 𝑔 ∈ ℝ[𝑥], podemos afirmar que 𝑝|𝑓 𝑜𝑢 𝑝|𝑔 ⟺ 𝑝|𝑓𝑔.

IV. Considerando 𝑍₆ = {$\bar{0},\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5}$} e a função polinomial 𝑓: 𝑍₆ → 𝑍₆, dada por 𝑓(𝑥) = $\bar{3}$𝑥⁴ + $\bar{3}$𝑥, podemos afirmar que a função 𝑓 é não nula.

V. Definindo 𝐼[𝑝(𝑥)] = {𝑝(𝑥)𝑞(𝑥):𝑞(𝑥) ∈ ℝ[𝑥]}, podemos afirmar que 𝐼[𝑥² − 5𝑥 + 6] ∩ 𝐼[𝑥² − 10𝑥 + 21] = 𝐼[𝑥³ − 12𝑥² + 41𝑥 − 42].

Analisando os itens acima, podemos afirmar que:

Seja 𝑓: ℝ³ ⟶ ℝ, uma função diferenciável, 𝑝 = (0,0,2) e 𝒖 = ⟨0,0,3⟩ = $0i^{{}^{\to }}$ + $0j^{{}^{\to }}$ + 3$\overrightarrow{k}$. Considere que 𝐷𝒖𝑓(0,0,2) = 𝑘, sendo 𝑘 um número real estritamente positivo. Dessa forma, a afirmação 𝐷_𝒖𝑓(0,0,2) = 𝑘 significa que:

Analise as afirmativas a seguir.

I. O conjunto $X\subset R^3$ formado pelos vetores $v=\left(x,y,z\right)$ tais que $z=3x$ e $x=2y$ é um subespaço vetorial.

II. O conjunto S₁ = {(0,1,0,1,0), (1,0,1,0,1)} forma uma base para o espaço vetorial $W=\left\{\left(x_{1,}{x}_2,x_3,x_4,x_5\right)\in R^5{x}_2-x_3+x_5=0e{x}_1-x_4=0\right\}$ e assim dim (W) = 2.

III. O conjunto $S_2=\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$, onde $v_1=\left(1,0,-1\right),v_2=\left(2,-1,1\right),v_3=\left(-3,2,1\right)$, é uma base para o espaço vetorial $R^3$.

IV. Os polinômios p₁ = 1 - x, p₂ = 5 + 3x - 2x² e p₃ = 1 + 3x - x² são linearmente dependentes.

V. A transformação linear T(x,y,z) = (x + y + z, 2x + 4y + 8z, 5x + 7y + 11z) não é injetiva.

Estão CORRETAS as afirmativas:

Dados os vetores $\overrightarrow{u}$ (2, 0, -2) e $\overrightarrow{v}$ (1, 2, 1), determine o valor de $\overrightarrow{u}$ x $\overrightarrow{v}$ :

Considere o produto interno usual de $R^4$ e sejam $\overrightarrow{u}$ = (3, 0, 2, 1) e $\overrightarrow{v}$ = (2, 1, -1, 1). Calcule a distância de $\overrightarrow{u}$ a $\overrightarrow{v}$:

Para a matriz F ilustrada na figura abaixo, os autovalores são:

F = $\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ -1& -1& -2\end{array}\right]$

Considere a matriz de rotação R de um ângulo ψ ǂ 0 em torno do eixo Z.

R = $\left[\begin{array}{ccc}cos\psi & sen\psi & 0\\ -sen\psi & cos\psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Essa matriz de rotação é tal que

O produto escalar entre os vetores 0A e 0D é negativo.

Considere o sistema abaixo:

$\{\begin{array}{c}3x+5y=2\\ 2x+8y=6\end{array}$

Assinale a alternativa correta quanto às raízes desse sistema.

O produto escalar usual de ℝ³ define o ângulo entre dois vetores, com isso, obtém-se que o ângulo θ entre os vetores (0,1,5) e (26, 45, -9) de 𝒮 satisfaz 30º < θ > 70º.

Considere A, B e C matrizes m × n, e sejam u e v números reais. A propriedade associatividade está indicada pela expressão:

A direção unitária na qual a função $f\left(x,y\right)=2x^2+y^2-x$ cresce mais rapidamente a partir do ponto $\left(1,-1\right)$ é dada por

Considere o operador $A:R^3\to R^{{}^2}$ definido por A(x,y,z) = (x - y - z, 2z - x). Analise as afirmativas a seguir.

I- A é um operador linear.

II- A é uma transformação linear.

III- Ker(A)={0}, onde Ker(A) é o núcleo de A.

IV- dim(Im(A^t )) = 2.

V- Uma base para Im(A) é {(1,-1),(-1,0)).

Estão CORRETAS as afirmativas:

Se $\overrightarrow{F}$ for um campo vetorial contínuo em uma região D, a integral de linha fc ${\int }_c^{}$ $\overrightarrow{F}$ d$\overrightarrow{r}$ independe do caminho se o seu valor for o mesmo para todo caminho conectando o ponto inicial e o ponto final de C. Em relação a esse assunto, os valores de A e B para o quais ${\int }_c^{}2xsen\left(2y\right)dx+\left(A{x}^2\cos \left(2y\right)+3y^2{e}^{-z}\right)dy+\left(B{y}^3{e}^{-z}\right)dz$

independe do caminho são respectivamente:

Em relação à teoria de parametrização de superfícies, a superfície de equação vetorial $\overrightarrow{r}$ (R, θ) = Rcos(θ)$\overrightarrow{l}$+ Rsen(θ)$\overrightarrow{J}$+ ( 1 - Rcos(θ) - Rsen(θ))$\overrightarrow{k}$ ; 0 ≤ R ≤ 2,0 ≤ θ ≤ 2$\pi$ representa a parte:

O Teorema de Gauss é um dos principais recursos utilizados para calcular o fluxo através de superfícies fechadas. Entretanto, ele também pode ser aproveitado nos casos em que a superfície é aberta, desde que ela seja completada de modo a se tornar fechada. Com base nesse texto, o fluxo do campo vetorial $\overrightarrow{F}$ (x,y,z) = e^-z²$\overrightarrow{l}$+ cos (x³) $\overrightarrow{J}$ + $\left(\frac{2}{\pi }\right)$ (z + 1) $\overrightarrow{k}$ sobre a parte do paraboloide z = 4 - x² - y², que está acima do plano xy, com orientação da normal para cima, vale:

Decidido a apagar um incêndio no topo de um prédio, um bombeiro de massa 74kg, munido de 2 baldes cheios de água, cada um com massa de 8 kg, sobe completamente a escadaria de um prédio de 36m de altura. A posição do profissional em função do tempo pode ser descrita pelas equações x(t) = 6cos(t),y(t) = 6sen(t),z(t) = $\frac{6}{\sqrt{\pi }}\sqrt{t}$, em que x, y e z são dados em metros e t em segundos. Com base nessas informações, considerando g = 10 m/s² e $\pi$ = 3,14, o trabalho realizado pelo bombeiro contra a gravidade em sua trajetória, em kJ, vale: