Questões de Concurso sobre Beta

Suponha que X₁, X₂, ..., Xₙ seja uma amostra aleatória simples de tamanho n de uma distribuição Bernoulli com parâmetro desconhecido θ, a probabilidade de ‘sucesso’ que se pretende estimar. Suponha ainda que será usada uma distribuição a priori Beta com parâmetros α e β para θ.

Nesse caso, a distribuição a posteriori de θ terá distribuição Beta com parâmetros

Suponha que uma amostra aleatória X₁, X₂, ..., X₁₀, de tamanho n = 10 será obtida de uma distribuição Bernoulli (θ), θ desconhecido.

Pretende-se usar uma densidade a priori Beta com parâmetros α = 2 e β = 2 e que será usada uma função de perda quadrática L(θ, a) = (θ – a)², com 0 < θ < 1 e 0 < a < 1.

Nesse caso, se forem observados 5 “sucessos”, a estimativa de Bayes para θ será igual a

Um intervalo de 95% de confiança para $\beta$_j que inclui o zero significa que se rejeita a hipótese H₀:$\beta$_j = 0 ao nível de 5% de significáncia.

Se o erro padrão de $\beta$_j aumenta, mantendo as demais características constantes, o comprimento do intervalo de confiança para $\beta$_j diminui.

Uma indústria deseja estimar a proporção p de rolamentos em sua linha de produção que não satisfazem as especificações técnicas. Para isso, adota-se para p uma distribuição a priori conjugada Beta com parâmetros a e b. Na especificação dos parâmetros da priori o estatístico consulta um engenheiro especialista e solicita que ele, com base em sua experiência, dê sua opinião (estimativa) sobre o valor esperado de p. O engenheiro apresenta o valor 0,10. O estatístico agradece e pede para o engenheiro supor que, ao selecionar um rolamento na linha de produção, verificou-se que estava fora das especificações técnicas. Em seguida, solicita ao engenheiro uma segunda opinião sobre o valor esperado de p diante da informação adicional, e o engenheiro atualiza sua opinião para o valor 0,12. Os valores de a e b, segundo a opinião do especialista, são:

O poder do teste de hipóteses para diferença entre médias é medido por:

Suponha que X₁, X₂,..., X_n seja uma amostra aleatória de uma distribuição Bernoulli (θ), θ desconhecido.

Se usarmos uma distribuição a priori Beta (α = 1, β = 1) para θ, se n = 10 e se as observações são, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, então a distribuição a posteriori de θ dada a amostra observada tem distribuição Beta com parâmetros iguais a

Entre as condições ideais relativas à função objetivo g(β) para a aplicação do método do gradiente descendente incluem-se convexidade, continuidade e diferenciabilidade.

Suponha que, para se fazer inferências acerca de uma proporção populacional θ, 0 < θ < 1, uma amostra aleatória simples x₁, x₂, ..., x_n, de tamanho n de uma distribuição Bernoulli (θ) deva ser observada; suponha, ainda, que se pretenda usar uma densidade Uniforme no intervalo (0, 1) a priori para θ.

Assim, se y = ${\sum }_{i=1}^n{x}_1$ então a função de densidade a posteriori para θ terá distribuição Beta com parâmetros

Dada uma amostra de tamanho n de uma variável aleatória Beta de parâmetros ex desconhecido $\beta$ = 1, determine o estimador de ex pelo método da máxima verossimilhança.

Dados:

fdp da distribuição Beta dada por:

f(x)=$\{\begin{array}{ccc}\frac{\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1},& 0<x<1& \\ 0,& caso& contr\acute{a}rio\end{array}$

Seja X uma variável aleatória X ~Beta(1, 1) e Y|X ~Bin(2n, X), E(Y) é:

Se (X│θ) tem distribuição binomial (n,θ) e (θ) tem distribuição Beta (∝,β), então a distribuição preditiva (X) será:

Uma empresa Y de investimentos deseja analisar o risco de duas carteiras de investimento que pensa montar. As duas carteiras possuem 5 ativos, com as proporções e os Betas conforme tabela abaixo.

Essas informações permitem concluir que a carteira