Questões de Concurso sobre Gama

Se os parâmetros iniciais da distribuição Gama forem escolhidos de modo que o parâmetro de forma seja 1 e o parâmetro de taxa tenda a um valor muito próximo de zero, então a distribuição a priori resultante se aproximará de uma distribuição uniforme em todos os valores positivos possíveis para a taxa média.

Se uma variável aleatória X possui uma distribuição gama com parâmetros α ≥ 1 e β > 0 apresentando uma função geradora de momentos igual a M(t) = (1 − βt)^−α, sendo 0 < t < 1/β, então o módulo da diferença entre o quadrado da esperança de X e a variância de X é

Um estatístico deseja modelar o tempo de espera dos requerentes da justiça do trabalho até a primeira audiência. Para tal, ele considera dez amostras aleatórias $X_1,X_1...,X_{10}$ modeladas por uma distribuição Gama(3,θ), sendo θ o parâmetro de escala. As amostras utilizadas são o tempo, em meses, conforme mostra a tabela a seguir.

-

-

Nesse caso, para os dados apresentados, a estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro θ será

Uma variável aleatória X possui distribuição Gama com parâmetros 𝜶 e 𝛃 se a sua função densidade de probabilidade é dada por:

$f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}$ $x^{\alpha -1}{e}^{-\beta x},x>0$ e $\begin{array}{cc}E(X)=\frac{\alpha }{\beta }& \\ Var(X)=\frac{\alpha }{{\beta }^2}& \end{array}$

O método dos momentos é um dos procedimentos de estimação pontual mais utilizados na inferência estatística. Considere X₁ , X₂ ,…, X_n uma amostra aleatória de tamanho n da variável X e $\overline{X}$ ${\sum }_i^n{=}_1\frac{x_i}{n}$. Dessa forma, é correto afirmar que os estimadores de momentos $\hat{\alpha }$ e $\hat{\beta }$ para os parâmetros 𝜶 e 𝜷 são dados por:

Se X tem distribuição Gama (α,β), considere o primeiro momento M₁=4 e o segundo momento M₂=8. Assim, o estimador de momentos de α é dado por

Os gráficos abaixo refletem as notas em Matemática e Suas Tecnologias e Ciências Humanas e Suas Tecnologias em uma determinada edição do Enem, cujas médias estão em torno de 500 e desvios-padrão em torno de 100.

Os histogramas indicam as seguintes distribuições para os dados:

Considerando X ~ Uniforme (α, β) , em que α é o valor da média de uma distribuição Exponencial(1) e β tem o valor da variância de uma Gama(2,1/2). Assinale a alternativa que corresponde ao valor da probabilidade de Xser menor que 7.

As s inale a opção cor reta que mostra, respectivamente, a relação entre a distribuição Qui-Quadrado (X_n ) com a distribuição Gama, assim como a média e desvio padrão da distribuição da Qui-Quadrado, considerando n = 2.

Considere uma variável aleatória contínua X com distribuição Gama ($\alpha$, $\beta$), cuja função de densidade de probabilidade é dada por

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\Gamma (\alpha ){\beta }^{\alpha }}{x}^{a-1}{e}^{\frac{-x}{\beta }},& x>0\\ 0,& x<0\end{array}$

Para $\alpha$ = 5 e $\beta$ = 3, a média e a variância de X são, respectivamente:

Considerando a densidade conjuntadas variáveis X e Y, dada por: $f_{X,Y}\left(x,y\right)=e^{-\left(x+y\right)}x\in \left(0,\infty \right)ey\in \left(0,\infty \right)$ , a marginal de X, sua distribuição e a $\frac{E\left(XY\right)}{2}$ são respectivamente:

Seja a amostra aleatória de tamanho n = 5, de uma distribuição Gama com parâmetros α e β, Γ(α, β), [2, 4, 5, 5, 8], as estimativas dos parâmetros pelo Método dos Momentos são:

Considere que X é uma variável aleatória contínua que tome somente valores não negativos. Sabe-se que X tem uma distribuição de probabilidade Gama se sua função densidade de probabilidade for dada por

ƒ(x) = $\frac{\alpha }{\Gamma \left(r\right)}{\left(\alpha x\right)}^{r-1}{e}^{-ax},x>0$

= 0, para quaisquer outros valores.

Essa distribuição depende de dois parâmetros, r e α, dos quais se exige r > 0 e α > 0. A distribuição que é um caso particular muito importante da Distribuição Gama, e que é obtida quando α =$\frac{1}{2}$ e r = $\frac{n}{2}$, onde n é um número inteiro positivo, é a distribuição:

Avalie se cada uma das seguintes famílias de distribuições é uma família exponencial

I. distribuições Bernoulli com parâmetro p desconhecido.

II. distribuições Poisson com parâmetro λ desconhecido.

III. distribuições normal com média conhecida e variância desconhecida.

IV. distribuições gama com parâmetro α conhecido e com parâmetro β desconhecido.

Assinale:

Uma variável aleatória com distribuição Gama (2,3), possui como densidade: (Dica: Para Gama(α, β) o valor esperado é E(X) = αβ)