Questões de Concurso sobre Polinômios

Sendo os polinômios: g(x) = 2x³ + x e h(x) = x² + 2, o polinômio que representa o produto de g(x).h(x) é:

A divisão do polinômio $p(x)$ = 3$x$⁴−2$x$² + $k$ pelo polinômio $q$($x$) = $x$² + $k$ resulta resto 6$k$. Então, assinale a alternativa que apresenta o(s) possível(is) valor(es) de $k$.

O esboço do gráfico da função polinomial de grau três, denotada por f, é apresentado na figura abaixo.

Considerando o espaço amostral formado pelas raízes da equação f(x) = 0, qual a probabilidade de se sortear uma das raízes dessa equação e essa raiz ser um número primo?

Em relação ao polinômio dado por , pode-se afirmar que:

O volume da caixa de sapatos, em cm³, é dado por 16x² + 80x .

Dados os números reais distintos, x₀, x₁, x₂, x₃, x₄, e fixados, arbitrariamente, os valores y₀, y₁, y₂, y₃, y₄, existe um, e somente um, polinômio p(x), de grau menor ou igual 4, tal que y₀ = p(x₀), y₁ = p(x₁), y₂ = p(x₂), y₃ = p(x₃), y₄ = p(x₄). Neste caso, uma possibilidade para identificar as raízes deste polinômio, é resolver a equação

O produto do polinômio (x² + 2x - 1) por (x + 1) resulta em

Sejam os polinômios P(x) = 6x⁴ + x³ + 3x² + x – 98 e Q(x) = x + 2 e sabendo que P(x) é divisível por Q(x), o polinômio que representa o quociente entre P(x) e Q(x), ou seja, P(x) : Q(x) é:

Sendo p(x) = x³ + x e g(x) = x² – 2x³ + 2, o polinômio que representa a produto entre p(x) e g(x), ou seja, p(x).g(x) é:

Considere a seguinte operação 𝑝(𝑥) + 2ℎ(𝑥) entre polinômios 𝑝(𝑥) = 2𝑥² − 2𝑥 + 1 e ℎ(𝑥) = −𝑥² + 5𝑥 − 2. Sendo assim, o que resulta dessa operação é:

Considerando os polinômios P(x) = 3x² + 2x + 7 e Q(x) = 2x² + 2x -7, o valor de P(x) – Q(x) é:

Em uma prova de Matemática, o professor apresentou a seguinte questão: “Considere os polinômios P(x) = (x + 1)⁶ e Q(x) = x⁶ . Sabendo-se que P(x) = Q(x), encontre a soma S de todos os valores de x reais que satisfazem a igualdade. Justifique o raciocínio utilizado”.

A seguir, são apresentadas as respostas de quatro alunos:

Aluno A: Extraindo a raiz sexta em ambos os membros, tem-se que x+1 = x. Conclui-se que não existe x que satisfaça a equação e, portanto, S é o conjunto vazio.

Aluno B: Observando a equação dada, verifica-se que x = -1/2 é raiz da equação. Como a equação é do sexto grau, S = 6.(-1/2), ou seja, S = -3.

Aluno C: A equação (x + 1)⁶ = x⁶ é equivalente a (x + 1)⁶ – x⁶ = 0. Fatorando corretamente o primeiro membro da equação, obtém-se uma equação polinomial do 5º grau, cujas raízes são a, b, c, d e e, sendo a = -1/2, b e c complexos conjugados e d e e complexos conjugados, cujas partes reais são -1/2. Assim, S = -3.

Aluno D: A equação (x + 1)⁶ = x⁶ é equivalente a (x + 1)⁶ - x⁶ = 0. Fatorando corretamente o primeiro membro da equação, obtém-se uma equação polinomial do 5º grau, cujas raízes são a, b, c, d e e, sendo a = -1/2, b e c complexos conjugados e d e e complexos conjugados, cujas partes reais são -1/2. Assim, S = -5/2.

Diante do exposto, analise as assertivas a seguir e assinale a alternativa que aponta as corretas.

I. O aluno A apresentou uma justificativa incorreta e o valor incorreto de S.

II. O aluno B apresentou uma justificativa incorreta, mas o valor correto de S.

III. O aluno C apresentou uma justificativa correta e o valor incorreto de S.

IV. O aluno D apresentou uma justificativa correta e o valor correto de S.

Dados os polinômios abaixo:

$\bullet$ P(x) = x² + 4x + 32

$\bullet$ Q(x) = (x – a)² + b

O valor de b que torna iguais os polinômios é:

Analise as afirmativas a seguir.

I. O conjunto $X\subset R^3$ formado pelos vetores $v=\left(x,y,z\right)$ tais que $z=3x$ e $x=2y$ é um subespaço vetorial.

II. O conjunto S₁ = {(0,1,0,1,0), (1,0,1,0,1)} forma uma base para o espaço vetorial $W=\left\{\left(x_{1,}{x}_2,x_3,x_4,x_5\right)\in R^5{x}_2-x_3+x_5=0e{x}_1-x_4=0\right\}$ e assim dim (W) = 2.

III. O conjunto $S_2=\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$, onde $v_1=\left(1,0,-1\right),v_2=\left(2,-1,1\right),v_3=\left(-3,2,1\right)$, é uma base para o espaço vetorial $R^3$.

IV. Os polinômios p₁ = 1 - x, p₂ = 5 + 3x - 2x² e p₃ = 1 + 3x - x² são linearmente dependentes.

V. A transformação linear T(x,y,z) = (x + y + z, 2x + 4y + 8z, 5x + 7y + 11z) não é injetiva.

Estão CORRETAS as afirmativas:

Se $n=6$, então o coeficiente do termo que contém $a^4{b}^2$ é 15.

Se $n=1.234,$ então o número de termos da expansão é um número primo.

Se $n=10$, então a soma de todos os coeficientes do desenvolvimento é igual a 1.024.

Considerando os polinômios P(x) = x² – 3x + 7 e Q (x) = x³ – x² + 6x, o valor de P (3) – Q(2) é igual a:

A média harmônica de $n$ números reais positivos $a_1,a_2,...,a_n$ é

$H=\frac{n}{\frac{a}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}.$

Sabendo que o polinômio $p\left(x\right)=30x^3-113x^2+108x-30$ possui três raízes reais positivas, a média harmônica das raízes de $p(x)$ é

Os coeficientes da equação polinomial x³ – 2022x² + mx + n = 0, na incógnita x, são números inteiros e suas três soluções são positivas. Apenas uma delas é um número inteiro que, por sua vez, é igual a soma das outras duas. No plano cartesiano de eixos ortogonais nm, todos os pares ordenados (m, n) que satisfazem as condições dadas pertencem ao gráfico de uma reta, cujos coeficientes angular e linear são, respectivamente,