Questões de Concurso sobre Probabilidade

Um lote contém 20 peças das quais 5 são defeituosas.

Colhendo-se uma amostra de 2 peças, ao acaso e sem reposição deste lote, a probabilidade de se obter pelo menos uma peça defeituosa é

A probabilidade condicional Pr (A|B), se A e B são eventos mutuamente excludentes, é:

Um grupo de 4 brasileiros e 4 bolivianos será aleatoriamente dividido em dois grupos de tamanho 4. A probabilidade de que ambos tenham o mesmo número de brasileiros e bolivianos é:

Seja X₁, X₂, ... uma sucessão de variáveis aleatórias identicamente distribuídas, cada uma com média e variância ¶², tendo a propriedade de que qualquer número finito delas são independentes. Então, para cada z

onde Þ(z) é uma função de distribuição:

Pela lei dos grandes números, ${\sum }_{i=1}^n\frac{x_i}{n}$ tende para $\theta$ à medida que n aumenta.

A probabilidade de ocorrência de um erro do tipo I depende da especificação da hipótese nula e é conhecida como função característica de operação do teste.

O critério da fatoração pode ser um bom recurso para a determinação de estatísticas suficientes. De um modo geral, esse critério diz que se X₁, X₂,..., X_n representa uma amostra aleatória simples de uma densidade parametrizada por um vetor de parâmetros , então um conjunto de estatísticas T₁ = t₁(X₁, X₂,..., X_n), (T₂ = t₂(X₁, X₂,..., X_n),..., T_k = t_k(X₁, X₂,..., X_n) é conjuntamente suficiente para se a função de densidade de probabilidade conjunta de X₁, X₂,..., X_n pode ser fatorada como:

Seja X uma variável aleatória assumindo os valores -2 e 2, com probabilidades 1/4 e 3/4, respectivamente. Seja  a média de X. Então, o limite superior de Pobtido pela desigualdade de Tchebysheff, é dado por

Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 clientes (A e B). Registros anteriores indicam que, dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de A e 70% de B. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabe-se que 2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam erro. Selecionando um pedido ao acaso, a probabilidade dele ser proveniente de A, sabendo que apresentou erro, é

O Teorema de Bayes diz que, para dois eventos independentes, A e B, com probabilidades não nulas, tem-se que

onde, P(A/B) é a probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo-se que o evento B já ocorreu. Desse modo pode-se afirmar que

Na confecção de 3 superfícies deste tipo, a probabilidade de que exatamente duas não apresentem defeito é

Para testar H₀: p = 0,5 versus H₁: p = 0,8, em que p representa uma proporção populacional de "sucessos", será usada uma amostra aleatória simples de tamanho 4 e o critério de decisão que rejeita H₀ se forem observados quatro "sucessos" na amostra. As probabilidades de erro tipo I e tipo II valem respectivamente:

A trava de segurança de um aparelho industrial deve ser trocada com freqüência, de modo a evitar a quebra devido ao fim de sua vida útil. Estudos anteriores admitem que essa vida útil possa ser representada por uma variável aleatória contínua, X, assumindo valores entre 0 e 1 ano. Seja

a função densidade de probabilidade de X

A probabilidade da vida útil ser superior a 6 meses é

Uma variável aleatória X contínua tem a seguinte função densidade de probabilidade:

Sendo a uma constante, seu valor é igual a