Questões de Concurso sobre Student

Os resultados mostram que um aumento na precipitação pluviométrica no ano anterior resulta no aumento na ocorrência de conflito civil, nas duas regressões.

Assuma que o valor anual gasto para pagamento de pessoal em municípios de uma certa região do Brasil possui distribuição normal com parâmetros desconhecidos. Em uma amostra de 16 municípios, observou-se um gasto médio de R$ 1.000.000,00 ao ano com desvio padrão amostral igual a R$ 500.000,00. Gostaríamos de testar se o gasto médio para pagamento de pessoal desses municípios é estatisticamente diferente de R$ 750.000,00.

O teste a ser usado e o valor da sua estatística de teste são, respectivamente:

Uma forma de comparar as médias µ_x e µ_y de duas populações normais independentes X e Y, respectivamente, com variância comum e desconhecida σ², é através do Intervalo de confiança para a diferença entre as médias, dado por

$\overline{x}$ - $\overline{y}$ $\pm$ q_t x S_p x $\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}$,

com $\overline{x}$ representando a média observada em uma amostra aleatória de tamanho n da população X, $\overline{y}$ a média observada em uma amostra aleatória de tamanho m da população Y, S_p é o desvio padrão amostral combinado observado nas amostras, e qt é um quantil da distribuição t-Student. Se y é o coeficiente de confiança desejado no intervalo e T_c representa a distribuição t-Student com c graus de liberdade, o quantil q_t deve satisfazer a seguinte probabilidade:

A distribuição t de Student com 1 grau de liberdade é equivalente a uma distribuição

O vendedor de uma empresa alega que o nível de pH da garrafa de água que comercializa é de 5,7. Foram selecionadas ao acaso 25 garrafas de água para medir o pH de cada uma. Se a média amostral e desvio padrão são de 6,1 e 0,5, respectivamente, então o valor da estatística teste t-student, é:

O tempo médio para um medicamento surtir efeito sobre os pacientes é uma informação importante para os pesquisadores. Em um estudo inicialmente realizado com uma amostra aleatória de 9 pacientes, foi obtido o valor médio do tempo de $\bar{x}$ = 15 minutos.

Sabendo-se que os pesquisadores estão assumindo, a partir de dados históricos, que o desvio-padrão do tempo para a população de pacientes é δ = 4 minutos, analise as afirmativas a seguir.

I. Em um intervalo de confiança bilateral de 95%, a margem de erro ao estimar a média do tempo para a população de pacientes é 2,7 minutos, aproximadamente.

II. O intervalo de confiança para estimar o tempo médio da população de pacientes deve ser baseado na distribuição t de student com 8 graus de liberdade.

III. Para garantir, com 95% de confiança, uma margem de erro de até ±1 minuto na estimação da média populacional do tempo, uma amostra com 65 pacientes seria suficiente.

IV. Neste estudo, não há necessidade de se testar a normalidade dos dados analisados.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)

A amostra aleatória X₁ , X₂ , …, X₉ foi extraída de uma população normal de tamanho infinito com variância 𝝈^𝟐 positiva e desconhecida. A partir dos valores observados, obteve-se ${\sum }_{i=1}^9{x}_i=27$ e ${\sum }_{i=1}^9{x}_i^2=113$ . Considere essas informações amostrais e as seguintes informações adicionais: P(Z < 1.28) = 0.90, P(Z < 1.64) = 0.95, P(T₈ < 1.40) = 0.90, P(T₈ < 1.86) = 0.95, P(T₉ < 1.38) = 0.90, P(T₉ < 1.83) = 0.95, P(T₁₀ < 1.37) = 0.90 e P(T₁₀ < 1.81) = 0.95; onde 𝒁 denota uma variável aleatória (v.a.) com distribuição normal-padrão e 𝑻_𝒌 denota uma v.a. com distribuição t-Student com 𝒌 graus de liberdade. Assim, analise as afirmativas a seguir.

I. O limite unilateral inferior de nível 90% de confiança para a média 𝜇 desta população é igual a 1.907.

II. Suponha que se queira testar as hipóteses 𝐻₀: 𝜇 = 2 (hipótese nula) e 𝐻₁: 𝜇 > 2 (hipótese alternativa). Então, pode-se dizer que o p-valor associado a este teste está entre 0.05 e 0.10 e, portanto, 𝐻₀ deve ser rejeitada ao nível de 10% de significância.

III. Se o valor verdadeiro de 𝜇 é 2.5, então o poder do teste associado às hipóteses 𝐻₀: 𝜇 = 2 (hipótese nula) e H₁ : μ > 2 (hipótese alternativa) corresponde à P(Z > 0.75).

Está correto o que se afirma em

Sob a hipótese nula, a estatística $\sqrt{n}$ $\overline{X}$ / σ segue uma distribuição t de Student com 15 graus de liberdade.

Uma amostra aleatória de tamanho 9 é extraída, com reposição, de uma população normal com média µ e variância desconhecida. Deseja-se testar, com base nos dados da amostra, se µ é menor que 21,6 sendo formuladas as hipóteses H₀ : µ = 21,6 (hipótese nula) e H₁ : µ < 21,6 (hipótese alternativa). A média amostral apresentou um valor igual a 20 e uma variância igual a 4. Optou-se por utilizar um teste estatístico por meio da distribuição t de Student, concluindo-se corretamente que, ao nível de significância de

Dados: Quantis da distribuição t de Student (tα) tal que a probabilidade P(t > tα) = α, com n graus de liberdade.

$\begin{array}{cccc}\underline{n}& \underline{8}& \underline{9}& \underline{10}\\ t_{0,01}& 2,90& 2,82& 2,76\\ t_{0,05}& 1,86& 1,83& 1,81\end{array}$

O tempo para transmitir um pacote de dados numa determinada rede de computadores tem, supostamente, distribuição normal, com média de 12 segundos. Depois de algumas mudanças na rede, acredita-se numa redução no tempo de transmissão de dados. Foram realizados 9 ensaios independentes de transmissão de pacote de dados e foram anotados os tempos de transmissão, em segundos. Desta amostra, calculou-se a média e o desvio padrão, obtendo-se os valores de 10 segundos e 4 segundos, respectivamente. Estes resultados mostram evidência de redução no tempo médio de transmissão? Responda por um teste estatístico adequado ao nível de significância de 0,05. Dado: F(1,860) = 0,95; F(2,306) = 0,975; φ(1,645) = 0,95 e φ(1,96) = 0,975; sendo F a função de distribuição acumulada t de Student com 8 graus de liberdade e φ a função de distribuição acumulada normal padrão.

A razão $\frac{\sqrt{n}\left({\overline{X}}_n-\mu \right)}{S_n}$ segue uma distribuição t de Student com n - 1 graus de liberdade.

Considerando que Y siga uma distribuição t de Student com 22 graus de liberdade, assinale a opção que apresenta o resultado da soma E[Y] + Var[Y].

Um determinado tipo de tinta é vendido em latas no mercado e consta na embalagem que cada lata contém 1 L de tinta. Um consumidor alega que o volume contido na lata é inferior a 1 L. Para averiguar se o consumidor tem razão, foi extraída aleatoriamente uma amostra de 16 latas, com reposição, da população de latas de tintas, considerando que as medidas de seus respectivos volumes, em litros (L), formam uma população normal com média µ. Após a medição, a média e o desvio padrão amostrais apresentaram os valores de 0,9 L e 0,16 L, respectivamente. Optou-se por utilizar um teste estatístico utilizando a distribuição t de Student sendo formuladas as hipóteses H₀ : µ = 1 L (hipótese nula) e H₁ : µ < 1 L (hipótese alternativa).

Dados: Valores críticos (t_α) da distribuição t de Student com n graus de liberdade tal que a probabilidade P(t > t_α) = α:

Conclui-se que H₀ ao nível de significância de 1%

Acredita-se que o valor do rendimento médio das pessoas que procuram ajuda na Defensoria Pública do Rio de Janeiro seja inferior a R$ 2.000. Para tentar gerar uma evidência estatística de que isso é verdade, foi proposto um teste de hipóteses com base numa amostra de tamanho n = 64, tendo sido apurado um rendimento médio de R$ 1.952, com desvio-padrão de R$ 256. Para a realização do teste será usada a aproximação da T-Student pela distribuição Normal, para qual sabe-se que:

P(Z > 1,28) = 0,10, P(Z > 1,5) = 0,07, P(Z > 1,75) = 0,04 e P(Z > 2) = 0,02

Assim sendo, é correto concluir que:

A distribuição amostral da estatística do teste é:

Sobre a distribuição t de student, é correto afirmar que:

Considere duas amostras, uma de tamanho n e outra de tamanho m, de valores das variáveis aleatórias X e Y, respectivamente. Quais condições devem ser satisfeitas para que a aplicação do teste T, na comparação das médias das duas variáveis, seja rigorosamente válida?